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   第３問 ｃｏｓ∠ＡＢＣ求めるんだけど、△ＡＢＣの全部の辺の長さわかってるんだから、余弦定理を使うってわかる。 余弦定理使ってｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１／３を得る。 ｓｉｎの方はｓｉｎ＾２＋ｃｏｓ＾２＝１より ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝±２√２／３ ０≦∠ABC≦１８０°ゆえｓｉｎは正だからプラスの方が答え。 △ＡＢＣの面積は公式つかって＝１／２＊ＡＢ＊ＢＣ＊ｓｉｎＢ＝２√２ ＢＣの中点Ｄとする △ＡＢＤに着目してＡＤ＝√８＝２√２ また内接円の半径をｘ、 中心をＯとすると、ＡＯ＝２√２ ーｘ △ＡＯＮで三平方の定理より （２√２ーｘ）＾２＝４＋ｘ＾２ とくとｘ＝√２／２ ＯＢの距離は△ＯＢＤで三平方よりＯＢ＝√（１＋１／２）＝√６／２ （１）外接円ときたら、 公式ｓｉｎ＜ＡＢＣ／ＡＣ＝１／２Ｒを思い出す。 これを△ＰＱＢに適用して ｓｉｎＢ／ＰＱ＝１／２Ｒ Ｒ＝√２／４ 円ＯはＢ通らない。円ＩはＢ通るから、一致はありえない。 また図描いてみたらだいたい異なる２点で交わるくらいだとわかる。Ｂからの距離とか調べて正確なこと求めた方がいいんだろうけど、時間制限もあるのでこのへんは直観でいいとおもう。 （２） 図をかいてみると △ＣＦＯで余弦定理つかってｃｏｓ∠ＥＣＯもとめて △ＣＥＯで再び余弦定理によりＣＥ求めてやると思いつく。こういう問題は、 ∠ＥＣＯ＝αとおいて △ＣＦＯで余弦より １／２＝３／２＋２ー２√２√３／√２＊ｃｏｓα とくと ｃｏｓα＝√３／２ 次に△ＣＥＯで、ＣＥ＝ｙとおいて余弦より １／２＝３／２＋ｙ＾２ー２ｙ√３／√２＊ｃｏｓα ｙの２次方程式とくと ｙ＝√２、１／√２ ＣＥ＜√２ゆえ ＣＥ＝√２／２ ＥＦ／ＣＥ＝１もすぐわかる。 Ｅ，Ｄは中点であるから、Ｇは重心である。だからＣＧ：ＧＭ＝２：１ ホームへ戻る |