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第3問

cos∠ABC求めるんだけど、△ABCの全部の辺の長さわかってるんだから、余弦定理を使うってわかる。

余弦定理使ってcos∠ABC=1/3を得る。

sinの方はsin^2+cos^2=1より
sin∠ABC=±2√2/3
0≦∠ABC≦180°ゆえsinは正だからプラスの方が答え。

△ABCの面積は公式つかって=1/2*AB*BC*sinB=2√2

BCの中点Dとする
△ABDに着目してAD=√8=2√2
また内接円の半径をx、
中心をOとすると、AO=2√2 ーx
△AONで三平方の定理より
(2√2ーx)^2=4+x^2
とくとx=√2/2

OBの距離は△OBDで三平方よりOB=√(1+1/2)=√6/2

(1)外接円ときたら、
公式sin<ABC/AC=1/2Rを思い出す。

これを△PQBに適用して

sinB/PQ=1/2R

R=√2/4

円OはB通らない。円IはB通るから、一致はありえない。
また図描いてみたらだいたい異なる2点で交わるくらいだとわかる。Bからの距離とか調べて正確なこと求めた方がいいんだろうけど、時間制限もあるのでこのへんは直観でいいとおもう。

(2)
図をかいてみると
△CFOで余弦定理つかってcos∠ECOもとめて
△CEOで再び余弦定理によりCE求めてやると思いつく。こういう問題は、

∠ECO=αとおいて
△CFOで余弦より
1/2=3/2+2ー2√2√3/√2*cosα
とくと
cosα=√3/2

次に△CEOで、CE=yとおいて余弦より
1/2=3/2+y^2ー2y√3/√2*cosα
yの2次方程式とくと
y=√2、1/√2
CE<√2ゆえ CE=√2/2
EF/CE=1もすぐわかる。
E,Dは中点であるから、Gは重心である。だからCG:GM=2:1

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