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第2問

これも毎年のようにでる問題。

@を変形して頂点もとめる。
ポイントは
・2次の係数が負の時は1次の項と一緒にかっこでくくって
・かっこ内を平方完成。
これはいつも同じパターンなので覚えておく。

具体的にかくと、
y=ー{x^2ー(2a+4)x}+b
 =ー{(xー(a+2))^2ー(a+2)^2}+b
 =ー(xー(a+2))^2+(a+2)^2+b

こうして頂点は(a+2、a^2+4a+4+b)となる。

またこの頂点がy=ー4xー1上にあるゆえ
頂点の座標を代入すればよい。
よってb=ーa^2ー8aー13

(1)
x軸と異なる2点で交わる。
これも決まったやり方。判別式>0。
判別式D=(2a+4)^2ー4(ー1)b>0
前のbを代入して解くと
a<ー9/4

次に、Gがx軸の正の部分と負の部分両方で交わるから、
グラフをイメージしながら、グラフは上に凸であり、
つまりf(0)>0ということだとわかる。(y=f(x)としておく)これも決まったやり方なので覚えとく。

これを解くとコとサは得られる。

(2)

0≦x≦4における最小値がー22。

グラフが上に凸だから最小値とるのはf(0)かf(4)だとわかる。

しかしどっちかわからない。

こうときは場合分け。

f(0)がf(4)より下になる場合と
f(4)がf(0)より下になる場合

これはつまり0と4の中間点2がこのグラフの軸より左にあるか右にあるかで分ける。

(a)2<a+2のとき (0<a)
f(0)で最小値ー22とる。
解くと
a=1、ー9 0<a満たすのはa=1

(b)2>a+2のとき (0>a)
f(4)で最小値ー22とる。
解くと
a=±3  0>a満たすのはa=ー3

a=1のとき頂点(3、ー13)であり、0≦x≦4の最大値はー13

a=ー3のとき頂点は(ー1、3)

こういう平行移動の問題では頂点のみに着目すればよい。

つまり頂点の移動はx方向に4、y方向にー16

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